泰勒公式04泰勒公式的幾何意義圖7。首先，觀察√2無限逼近形式(1)，我們可這樣理解，利用泰勒公式就可以得到√x在x=1處展開式了，泰勒公式就是在x=a點(diǎn)附近利用冪函數(shù)序列(x-a)?，(x-a)1，(x-a)2，(x-a)3，...來逼近函數(shù)f(x)。

1、泰勒公式該怎么理解？

01開場白自從我努力將所學(xué)知識(shí)以動(dòng)圖的形態(tài)呈現(xiàn)給大家之后，我驚喜的發(fā)現(xiàn)我對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解變得更加的透徹了。這難道就是：予人玫瑰，手留余香！泰勒公式是非常非常重要的一個(gè)工具，同時(shí)也是不容易理解消化的知識(shí)點(diǎn)，如果你認(rèn)為這篇文章講解的好，請(qǐng)分享給身邊的大學(xué)生，不管是親戚、朋友。02cos(x)在0點(diǎn)附近的泰勒分解當(dāng)我們仔細(xì)觀察g(x)=cos(x)函數(shù)的時(shí)候，當(dāng)x=0處的圖形和拋物線的圖形（紅色）相似度極高，

紅色拋物線的公式可表示如下：當(dāng)x=0時(shí)，g(0)=cos(0)=1。我們的目的是將拋物線f(x)和cos(x)的圖形盡量逼近，那么，在x=0時(shí)，f(0)=g(0)=1。x=0處值上圖所示，在我們定下c=1的情況下，第二項(xiàng)中a的值將會(huì)對(duì)拋物線在x=0處切線斜率產(chǎn)生影響，

cos(x)在x=0出的圖形切線斜率為0（紅線所示）。自然，我們也需要將拋物線在x=0處切線斜率逼近0，切線的斜率=切線函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù)我們需要保證f(x)和g(x)在x=0處的切線斜率相等，那么a=0。圖2：拋物線變換（二）上圖所示拋物線公式中b對(duì)于圖形形狀的影響，

二階導(dǎo)數(shù)是個(gè)很抽象的概念，有的表達(dá)式切線斜率的變化率。這并不方便記憶，所以我們可以結(jié)合導(dǎo)數(shù)的物理意義來幫助記憶，路程S的一階導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)速度V；路程S的二階導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)速度α；圖3：拋物線變換（三）我們分別在兩個(gè)圖形上定兩個(gè)小球，由于兩個(gè)圖形的一階導(dǎo)數(shù)（速度）為0，也就是初始速度都是0。之后，我們可以清楚的看到，紅色曲線上的小點(diǎn)運(yùn)動(dòng)加速度要大于藍(lán)色曲線上的小點(diǎn)，

這就是拋物線公式中b對(duì)整體的影響。知道這一點(diǎn)后，我們就可以通過二階導(dǎo)數(shù)相等去求出b了，二階導(dǎo)數(shù)如上所示，2b=-1,b=-0.5。所以拋物線的方程可以如下表示：f(x)=1-0.5*x^2圖4：拋物線變換（四）03結(jié)果驗(yàn)證我們得到了cos(x)在x=0處的泰勒公式近似公式，那么是不是可以用該公式求cos(x)的近似值呢？當(dāng)x=0.1時(shí)：cos(0.1)=0.9959941651-0.5*x^2=0.995當(dāng)x=0.5時(shí)：cos(0.5)=0.8775825621-0.5*x^2=0.875我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x的取值離x=0越來越遠(yuǎn)，則誤差越來越大，

從圖4中也能看出，藍(lán)色和紅色小球之間的距離越來越遠(yuǎn)。這不代表我們的公式有問題，是因?yàn)槲覀兊墓酵茖?dǎo)過程本身就是基于x=0附近的點(diǎn)的近似求解，自然x的值里0點(diǎn)越遠(yuǎn)越不準(zhǔn)。那么怎么樣提高精度呢？我們可以不斷的在公式后面增加更高次冪的式子，我們一起來看看我們不斷增加高次冪之后，兩個(gè)圖形的重合度有什么變化吧。

圖5：拋物線變換（五）在x取別的值的時(shí)候，我們依然可以按照上述過程進(jìn)行泰勒展開，當(dāng)我們?cè)趚=π的時(shí)候做泰勒展開，圖形會(huì)如圖6般美妙。圖6：拋物線變換（六）泰勒公式通式：泰勒公式04泰勒公式的幾何意義圖7：泰勒公式幾何意義那么，藍(lán)色、紅色和綠色的面積分別為多少呢？也就是說，泰勒公式中第一項(xiàng)為藍(lán)色的面積區(qū)域；第二項(xiàng)為紅色的面積區(qū)域；第三項(xiàng)為綠色的面積區(qū)域；依次類推，不斷增進(jìn)精度，

2、如何通俗的解釋泰勒公式？